数年前にVIPで出題された数学の問題を解けた🥺 (14)

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問題内容は概ね「A君は始点Sから終点Gまで歩いていこうとしています。しかし、SとGのちょうど中間地点に犬がいて、A君は犬が怖いので歩行速度は犬からの距離に比例してしまいます。さて、SからGまでの移動時間が最短となる経路はどのような経路でしょうか。」といった感じでした🥺

さて、前回は多様体の測地線というまあまあ解析的なアプローチでしたが、今度はより直感的に行きます🥺
前回同様、SとGをそれぞれ極座標系で(1,-π/2),(1,π/2)と表せる2次元ユークリッド空間E^2を考えます🥺
このとき、線素はds=√(dr^2+r^2dθ^2)です🥺
さて、これとは別の多様体Mを今から考えます🥺
A君の歩行速度が犬からの距離rに比例して変化するのではなく、空間の方が座標rに比例して伸び縮みしてA君の歩行速度は一定であるというイメージです🥺
Mの線素ds'はE^2の線素dsと比較して
ds'=(1/r)ds
となります🥺
E^2,Mの計量テンソルをそれぞれg,g'とおくと、計量テンソルは
√(g'_ij dx^i dx^j)=(1/r)√(g'_ij dx^i dx^j)
g'_ij=(1/r^2)g_ij
よってMの計量テンソルg'は
((1/r^2),0)
(0,1)
となります🥺
g'より、MのR^3への埋め込みとして以下の例がかんがえられます🥺
x=cosθ
y=sinθ
z=a (0<r),(aはrの関数)
p=(x,y,z)^†として、
g_ij=<∂p/∂x^i,∂p/∂x^j>より、
g_rr=<(0,0,a'),(0,0,a')>
1/r^2=a'^2
a'=±1/r
一例だけあればいいので、ここではa'=1/rとします🥺
a=logr+C
一例だけあればいいので、ここではC=0とします🥺
よってMはR^3において
x=cosθ
y=sinθ
z=logr (r<0)
と表せます🥺
これは無限の長さを持つ円筒形をしています🥺
円筒を回る方向にθ座標、それと直角な方向にr座標を持ちます🥺
始点S,終点GはそれぞれR^3では
(0,-1,0)^†,(0,1,0)^†となります🥺
この2点をMに沿って最短で繋げる弧は、z=0とMの断面です🥺
よってr=1が解です🥺

ちなみにx=cosθ、y=sinθと始めからおいた理由は、ds'/dθ=1だったこととd(ds'/dr)/dθ=0だったこととθの動く範囲はS^1に同相であることに由来します🥺

すごいね✨

❓
🥺

>>2
うれしい🥹

❔
🥺

これ大学数学？

>>6
多分🥺

はえ〜まったくわからん

解けたかもやけど解法が合っとるかわからん🤔

つまり…？

多分合っとるかも

犬にはまったく近づかず元の距離をたもって迂回するってこと？
歩行速度の遅くなり具合をいろいろいじったときどうなるのかも気になる

ぷゆバカだからよくわかんねぇだけど誰かが犬ををどかしてあげるかA君の犬恐怖症を治してあげれば直線に行くのが1番近い経路になるんじゃねぇの？🥺

Latexで書いて画像にしてくれないと式が読めない🥺