1 野に咲く名無し@転載禁止 (7578d389) 2024/02/22 (木) 02:38:47.371 ID:fdMyVO4Bd
問題内容は概ね「A君は始点Sから終点Gまで歩いていこうとしています。しかし、SとGのちょうど中間地点に犬がいて、A君は犬が怖いので歩行速度は犬からの距離に比例してしまいます。さて、SからGまでの移動時間が最短となる経路はどのような経路でしょうか。」といった感じでした🥺
さて、前回は多様体の測地線というまあまあ解析的なアプローチでしたが、今度はより直感的に行きます🥺
前回同様、SとGをそれぞれ極座標系で(1,-π/2),(1,π/2)と表せる2次元ユークリッド空間E^2を考えます🥺
このとき、線素はds=√(dr^2+r^2dθ^2)です🥺
さて、これとは別の多様体Mを今から考えます🥺
A君の歩行速度が犬からの距離rに比例して変化するのではなく、空間の方が座標rに比例して伸び縮みしてA君の歩行速度は一定であるというイメージです🥺
Mの線素ds'はE^2の線素dsと比較して
ds'=(1/r)ds
となります🥺
E^2,Mの計量テンソルをそれぞれg,g'とおくと、計量テンソルは
√(g'_ij dx^i dx^j)=(1/r)√(g'_ij dx^i dx^j)
g'_ij=(1/r^2)g_ij
よってMの計量テンソルg'は
((1/r^2),0)
(0,1)
となります🥺
g'より、MのR^3への埋め込みとして以下の例がかんがえられます🥺
x=cosθ
y=sinθ
z=a (0<r),(aはrの関数)
p=(x,y,z)^†として、
g_ij=<∂p/∂x^i,∂p/∂x^j>より、
g_rr=<(0,0,a'),(0,0,a')>
1/r^2=a'^2
a'=±1/r
一例だけあればいいので、ここではa'=1/rとします🥺
a=logr+C
一例だけあればいいので、ここではC=0とします🥺
よってMはR^3において
x=cosθ
y=sinθ
z=logr (r<0)
と表せます🥺
これは無限の長さを持つ円筒形をしています🥺
円筒を回る方向にθ座標、それと直角な方向にr座標を持ちます🥺
始点S,終点GはそれぞれR^3では
(0,-1,0)^†,(0,1,0)^†となります🥺
この2点をMに沿って最短で繋げる弧は、z=0とMの断面です🥺
よってr=1が解です🥺
ちなみにx=cosθ、y=sinθと始めからおいた理由は、ds'/dθ=1だったこととd(ds'/dr)/dθ=0だったこととθの動く範囲はS^1に同相であることに由来します🥺